Question

15．如圖，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的離心率e=$\frac{1}{2}$，F(xiàn)、A分別是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，則$\overrightarrow{PF}$•$\overrightarrow{PA}$的最大值為4．

Answer 1

分析 利用橢圓的離心率求出c，推出b，求解橢圓的方程，推出F，A，設(shè)出P的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積化簡(jiǎn)求解最值即可．

解答 解：焦點(diǎn)在x軸上的橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的離心率e=$\frac{1}{2}$，可得a=2，c=1，則b=$\sqrt{3}$，
橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
則F（-1，0），A（2，0），設(shè)P（2cosθ，$\sqrt{3}sinθ$），
則$\overrightarrow{PF}$=（-1-2cosθ，-$\sqrt{3}$sinθ），$\overrightarrow{PA}$=（2-2cosθ，-$\sqrt{3}$sinθ），
則$\overrightarrow{PF}$•$\overrightarrow{PA}$=（-1-2cosθ，-$\sqrt{3}$sinθ）（2-2cosθ，-$\sqrt{3}$sinθ）=cos²θ-2cosθ+1
=（cosθ-1）²，
當(dāng)cosθ=-1時(shí)，上式取得最大值為4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．