Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E是BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AE⊥平面PAD；
（Ⅱ）若AB=2，異面直線PB與CD所成角為60°，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）證明AE⊥AD．PA⊥AE．利用直線與平面垂直的判定定理證明AE⊥平面PAD；
（Ⅱ）判斷PB與AB所成的角就是PB與CD所成的角，利用PA⊥面ABCD，求出底面面積與高即可求四棱錐P-ABCD的體積．

解答： （ 本小題滿分12分）
（Ⅰ）證明：由四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，可得△ABC為正三角形．因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，
所以AE⊥BC．又BC∥AD，因此AE⊥AD．
因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE．
而PA?平面PAD，AD?平面PAD 且PA∩AD=A，
所以AE⊥平面PAD，…（6分）
（Ⅱ）解：∵CD∥AB，∴PB與AB所成的角就是 PB與CD所成的角，∴∠PBA=60°，
∵AB=2，∠PAB=90°，∴PA=2

3

，
∵PA⊥面ABCD，∴VP-ABCD=

1

3

×PA×SABCD=4…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何體的體積的求法，直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．