Question

8．如圖，四邊形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面BCE，BE⊥EC．
（1）求證：平面AEC⊥平面ABE；
（2）點(diǎn)F在BE上，若DE∥平面ACF，DC=CE=$\frac{1}{2}$BC=3，求三棱錐A-BCF的體積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面ABCD⊥平面BCE，利用面面垂直的性質(zhì)可得AB⊥平面BCE，從而可得CE⊥AB，由CE⊥BE，根據(jù)線面垂直的判定可得CE⊥平面ABE，從而可得平面AEC⊥平面ABE；
（2）連接BD交AC于點(diǎn)O，連接OF．根據(jù)DE∥平面ACF，可得DE∥OF，根據(jù)O為BD中點(diǎn)，可得F為BE中點(diǎn)，由已知求出底面三角形BCF的面積，代入體積公式得答案．

解答 （1）證明：∵ABCD為矩形，∴AB⊥BC．
∵平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE=BC，AB?平面ABCD，
∴AB⊥平面BCE．
∵CE?平面BCE，∴CE⊥AB．
∵CE⊥BE，AB?平面ABE，BE?平面ABE，AB∩BE=B，
∴CE⊥平面ABE．
∵CE?平面AEC，∴平面AEC⊥平面ABE．
（2）解：連接BD交AC于點(diǎn)O，連接OF．
∵DE∥平面ACF，DE?平面BDE，平面ACF∩平面BDE=OF，
∴DE∥OF．
又∵矩形ABCD中，O為BD中點(diǎn)，
∴F為BE中點(diǎn)，即BF=FE．
在Rt△BEC中，∵BC=6，EC=3，∴BE=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}=3\sqrt{3}$．
∴${S}_{△AFC}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×3\sqrt{3}×3=\frac{9\sqrt{3}}{4}$．
又AB=DC=3．
∴${V}_{A-BCF}=\frac{1}{3}×\frac{9\sqrt{3}}{4}×3=\frac{9\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的判定，考查了棱錐體積的求法，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．