Question

數(shù)列{a_n} 中，a₁=1，且點(diǎn)（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函數(shù)f（x）=x+2的圖象上．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n} 的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足bn=2an-1，求證數(shù)列{b_n}，是等比數(shù)列，并求其前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）由點(diǎn)（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函數(shù)f（x）=x+2的圖象上得到a_n+1-a_n=2，利用等差數(shù)列通項(xiàng)求法即可解決．
（2）由（1）中的a_n的值即可求出b_n的值，然后利用等比數(shù)列證法及求和公式即可解決．

解答：解：（Ⅰ）∵（a_n，a_n+1）在函數(shù)f（x）=x+2的圖象上，
∴a_n+1=a_n+2即a_n+1-a_n=2（2分）
∴數(shù)列{a_n}是a₁=1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，（4分）
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1（6分）
（Ⅱ）∵數(shù)列{b_n}滿足bn=2an-1∴b_n=2^2n-2=4^n-1，（9分）
∴

bn+1

bn

=

4n

4n-1

=4
∴數(shù)列{b_n}是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列．（11分）
∴sn=

1-4n

1-4

=

4n-1

3

．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)和和的求法，屬易題．