Question

函數(shù)f（x）對(duì)任意a，b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1．
（1）求證：f（x）在R上是增函數(shù)．
（2）若f（4）=5，解不等式．f（3m²-4）＜3．
（3）若f（m²+m-5）＜2的解集是m∈（-3，2），求f（6）的值．

Answer 1

分析：（1）?實(shí)數(shù)x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，利用已知可得f（x₂-x₁）＞1．再利用已知可得f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-1＞1+f（x₁）-1=f（x₁）即可．
（2）令a=b=2，則f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，解得f（2）=3．不等式f（3m²-4）＜3．化為f（3m²-4）＜f（2）．由（1）可得：f（x）在R上是增函數(shù)．可得3m²-4＜2，解得即可；
（3）由m∈（-3，2），可得（-3，2）是不等式（m+3）（m-2）＜0的解集，化為m²+m-5＜1．由f（m²+m-5）＜2的解集是m∈（-3，2），
及由（1）可知：f（x）在R上是增函數(shù)．必有f（1）=2．再利用已知即可得出f（2）、f（4）、f（6）．

解答：解：（1）證明：?實(shí)數(shù)x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1，∴f（x₂-x₁）＞1．
又∵函數(shù)f（x）對(duì)任意a，b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，
∴f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-1＞1+f（x₁）-1=f（x₁）．
∴f（x₂）＞f（x₁）．
∴f（x）在R上是增函數(shù)．
（2）令a=b=2，則f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，解得f（2）=3．
不等式f（3m²-4）＜3．化為f（3m²-4）＜f（2）．
由（1）可得：f（x）在R上是增函數(shù)．
∴3m²-4＜2，化為m²＜2，解得-

2

＜m＜

2

．
∴不等式f（3m²-4）＜3的解集為(-

2

，

2

)．
（3）由m∈（-3，2），可得（-3，2）是不等式（m+3）（m-2）＜0的解集，
化為m²+m-5＜1，
∵f（m²+m-5）＜2的解集是m∈（-3，2），及由（1）可得：f（x）在R上是增函數(shù)．
∴f（1）=2．
∴f（2）=f（1+1）=2f（1）-1=3，
∴f（4）=2f（2）-1=2×3-1=5，
∴f（6）=f（2）+f（4）-1=3+5-1=7．
故f（6）=7．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了抽象函數(shù)的單調(diào)性、求值、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，考查了靈活應(yīng)用知識(shí)解決問題的能力，屬于難題．