Question

已知a∈R，函數f（x）=lnx-a（x-1）．
（Ⅰ）若a=

1

e-1

，求函數y=|f（x）|的極值點；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤-

ax2

e2

+

(1+2a-ea)x

e

恒成立，求a的取值范圍．（e為自然對數的底數）

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：本題（1）先求f（x）的導函數，利用導函數值的正負得到f（x）的單調性，通過特殊點（1，0），（e，0）得出函數f（x）值的正負情況，根據絕對值函數的特征，求出|f（x）|的極值點；（2）將原關系式轉化為恒成立問題，利用導函數求最值，解不等式得到本題結果．

解答： 解：（Ⅰ）若a=

1

e-1

，
則f(x)=lnx-

x-1

e-1

，
  f′(x)=

1

x

-

1

e-1

．
當x∈（0，e-1）時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增；
當x∈（e-1，+∞）時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減．
又因為f（1）=0，f（e）=0，所以
當x∈（0，1）時，f（x）＜0；
當x∈（1，e-1）時，f（x）＞0；
當x∈（e-1，e）時，f（x）＞0；
當x∈（e，+∞）時，f（x）＜0．
故y=|f（x）|的極小值點為1和e，極大值點為e-1．
（Ⅱ）不等式f(x)≤-

ax2

e2

+

(1+2a-ea)x

e

，
整理為lnx+

ax2

e2

-

(1+2a)x

e

+a≤0．…（*）
設g(x)=lnx+

ax2

e2

-

(1+2a)x

e

+a，
則g′(x)=

1

x

+

2ax

e2

-

1+2a

e

（x＞0）
=

2ax2-(1+2a)ex+e2

e2x

=

(x-e)(2ax-e)

e2x

．
①當a≤0時，2ax-e＜0，又x＞0，所以，
當x∈（0，e）時，g'（x）＞0，g（x）遞增；
當x∈（e，+∞）時，g'（x）＜0，g（x）遞減．
從而g（x）_max=g（e）=0．
故，g（x）≤0恒成立．
②當a＞0時，g′(x)=

(x-e)(2ax-e)

e2x

=(x-e)(

2a

e2

-

1

ex

)．
令

2a

e2

-

1

ex

=

a

e2

，解得x1=

e

a

，
則當x＞x₁時，

2a

e2

-

1

ex

＞

a

e2

；
再令(x-e)

a

e2

=1，解得x2=

e2

a

+e，
則當x＞x₂時，(x-e)

a

e2

＞1．
取x₀=max（x₁，x₂），則當x＞x₀時，g'（x）＞1．
所以，當x∈（x₀，+∞）時，
g（x）-g（x₀）＞x-x₀，即g（x）＞x-x₀+g（x₀）．
這與“g（x）≤0恒成立”矛盾．
綜上所述，a≤0．

點評：本題考查了導函數的綜合應用，還考查了分類討論的數學思想．本題思維質量高，計算量大，屬于難題．