Question

設(shè)f（x）=（x+1）ⁿ（其中n∈N₊）．
（1）若f（x）=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+a₃（x-1）³+…+a_n（x-1）ⁿ，求a₀及S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n；
（2）當(dāng)n=2013，計(jì)算：

C

1 2013

-2

C

2 2013

+…+k

C

k 2013

（-1）^k-1+…+2013

C

2013 2013

（-1）²⁰¹²．

Answer 1

分析：（1）取x=1，可求得a₀，再取x=2，可求得S_n；
（2）對(duì)（1+x）²⁰¹³的展開(kāi)式，等號(hào)兩端同時(shí)求導(dǎo)，再對(duì)x賦值-1即可求得答案．

解答：解：（1）取x=1，則a₀=2ⁿ；         …（2分）
取x=2，則a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_n=3ⁿ，…（4分）
∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=3ⁿ-2ⁿ．…（6分）
（2）由（1+x）²⁰¹³=

C

0 2013

+

C

1 2013

x+

C

2 2013

x²+…+

C

k 2013

x^k+…+

C

2013 2013

x²⁰¹³，…（8分）
兩端求導(dǎo)得：
2013（1+x）²⁰¹²=

C

1 2013

+2

C

2 2013

x+…+k

C

k 2013

•x^k-1+…+2013

C

2013 2013

•x²⁰¹²…（12分）
令x=-1，得：

C

1 2013

-2

C

2 2013

+…+k

C

k 2013

•（-1）^k-1+…+2013

C

2013 2013

•（-1）²⁰¹²=0…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，（2）中對(duì)（1+x）²⁰¹³=

C

0 2013

+

C

1 2013

x+

C

2 2013

x²+…+

C

k 2013

x^k+…+

C

2013 2013

x²⁰¹³兩端求導(dǎo)是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查觀察、分析與運(yùn)算能力，屬于中檔題．