Question

19．現(xiàn)有數(shù)字1，2，3，4，5
（1）能組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？
（2）如果從（1）中的所得的五位數(shù)中任取一個，那么所得數(shù)字恰能被5整除的概率是多少？
（3）如果將（1）中的所得的五位數(shù)按從小到大排列
①現(xiàn)從中任取5個數(shù)，取后放回，求所得的5個數(shù)中能被5整除的數(shù)字的個數(shù)X的概率分布及數(shù)學(xué)期望
②“43215”是第幾個數(shù)？

Answer 1

分析 （1）利用排列數(shù)公式能求出數(shù)字1，2，3，4，5能組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)．
（2）先求出數(shù)字1，2，3，4，5能組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)的個數(shù)，再求出其中能被5整除的數(shù)字的個數(shù)，由此利用等可能事件概率計算公式能求出所得的五位數(shù)中任取一個，那么所得數(shù)字恰能被5整除的概率．
（3）①將（1）中的所得的五位數(shù)按從小到大排列，現(xiàn)從中任取5個數(shù)，取后放回，所得的5個數(shù)中能被5整除的數(shù)字的個數(shù)X～B（5，$\frac{1}{5}$），由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
②所得的五位數(shù)按從小到大排列，先求出萬位數(shù)字是1或3的個數(shù)，再求出萬位數(shù)字是4，千位數(shù)字是2的個數(shù)，再求出萬位數(shù)字是4，千位數(shù)字是3，百位數(shù)字是1的個數(shù)，再求出萬位數(shù)字是4，千位數(shù)字是3，百位數(shù)字是2且不大于43215的個數(shù)，由此能求出“43215”是第幾個數(shù)．

解答 解：（1）數(shù)字1，2，3，4，5能組成：${A}_{5}^{5}$=120沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)．
（2）數(shù)字1，2，3，4，5能組成${A}_{5}^{5}$=120沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，
其中能被5整除的有：${A}_{1}^{1}{A}_{4}^{4}$=24個，
∴從（1）中的所得的五位數(shù)中任取一個，那么所得數(shù)字恰能被5整除的概率：
p=$\frac{24}{120}$=$\frac{1}{5}$．
（3）①將（1）中的所得的五位數(shù)按從小到大排列，現(xiàn)從中任取5個數(shù)，取后放回，
所得的5個數(shù)中能被5整除的數(shù)字的個數(shù)X～B（5，$\frac{1}{5}$），
P（X=0）=${C}_{5}^{0}（\frac{4}{5}）^{5}$=$\frac{1024}{3125}$，
P（X=1）=${C}_{5}^{1}$$（\frac{1}{5}）（\frac{4}{5}）^{4}$=$\frac{1280}{3125}$，
P（X=2）=${C}_{5}^{2}（\frac{1}{5}）^{2}（\frac{4}{5}）^{3}$=$\frac{640}{3125}$，
P（X=3）=${C}_{5}^{3}（\frac{1}{5}）^{3}（\frac{4}{5}）^{2}$=$\frac{160}{3125}$，
P（X=4）=${C}_{5}^{4}（\frac{1}{5}）^{4}（\frac{4}{5}）$=$\frac{20}{3125}$，
P（X=5）=${C}_{5}^{5}（\frac{1}{5}）^{5}$=$\frac{1}{3125}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3	4	5
P	$\frac{1024}{3125}$	$\frac{1280}{3125}$	$\frac{640}{3125}$	$\frac{160}{3125}$	$\frac{20}{3125}$	$\frac{1}{3125}$

EX=$0×\frac{1024}{3125}+1×\frac{1280}{3125}$+$2×\frac{640}{3125}+3×\frac{160}{3125}+4×\frac{20}{3125}+5×\frac{1}{3125}$=1．
②所得的五位數(shù)按從小到大排列，萬位數(shù)字是1或3的有：${A}_{3}^{1}{A}_{4}^{4}$=72個，
萬位數(shù)字是4，千位數(shù)字是2的有：${A}_{1}^{1}{A}_{1}^{1}{A}_{3}^{3}$=6個，
萬位數(shù)字是4，千位數(shù)字是3，百位數(shù)字是1的有：${A}_{1}^{1}{A}_{1}^{1}{A}_{1}^{1}{A}_{2}^{2}$=2個，
萬位數(shù)字是4，千位數(shù)字是3，百位數(shù)字是2且不大于43215的只有：43215這1個，
∴“43215”是第72+6+2+1=81個數(shù)．

點評 本題考查排列數(shù)公式的應(yīng)用，考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運用．