Question

11．如圖所示，半徑為1的球內(nèi)切于正三棱錐P-ABC中，則此正三棱錐體積的最小值為8$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)棱錐底面邊長為a，高為h，作過棱錐的高和斜高的截面，根據(jù)三角形相似得出a，h的關(guān)系，代入棱錐的體積公式，利用導(dǎo)數(shù)求出體積的最小值．

解答 解：設(shè)正三棱錐P-ABC的底面邊長AB=a，高為PO=h．設(shè)內(nèi)切球球心為M，與平面PAC的切點為N，D為AC的中點，
則MN⊥PD．DO=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a$=$\frac{\sqrt{3}}{6}a$．MN=1，PM=h-1，∴PN=$\sqrt{P{M}^{2}-M{N}^{2}}$=$\sqrt{（h-1）^{2}-1}$=$\sqrt{{h}^{2}-2h}$．
∵Rt△PMN∽Rt△PDO，∴$\frac{MN}{DO}=\frac{PN}{PO}$，即$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{6}a}=\frac{\sqrt{{h}^{2}-2h}}{h}$，∴a=$\frac{2\sqrt{3}h}{\sqrt{{h}^{2}-2h}}$．
∴$V=\frac{1}{3}•\frac{{\sqrt{3}}}{4}{a^2}•h=\frac{{\sqrt{3}{h^2}}}{h-2}（h＞2）$，$V'=\frac{{\sqrt{3}（{h^2}-4h）}}{{{{（h-2）}^2}}}$，令V'=0得h=4，
故當(dāng)h=4時，${V_{min}}=8\sqrt{3}$．
故答案為8$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了棱錐與內(nèi)切球的位置關(guān)系，找到底面邊長和高的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．