Question

（2013•煙臺一模）已知函數(shù)f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小值，及取最小值時(shí)x的值；
（2）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c且c=

3

，f（C）=0，若sinB=2sinA，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)解析式第二項(xiàng)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象求出函數(shù)f（x）的最小值，以及此時(shí)x的值即可；
（2）由f（C）=0以及（1）得出的f（x）解析式，根據(jù)C的范圍，求出這個角的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值求出C的度數(shù)，利用正弦定理化簡sinB=2sinA，得到b=2a；再利用余弦定理列出關(guān)于a與b的方程，兩方程聯(lián)立即可求出a與b的值．

解答：解：（1）f（x）=

3

2

sin2x-

1

2

（1+cos2x）-

1

2

=sin（2x-

π

6

）-1，
∴f（x）的最小值為-2，當(dāng)且僅當(dāng)x=kπ-

π

6

，k∈Z；
（2）f（C）=sin（2C-

π

6

）-1=0，即sin（2C-

π

6

）=1，
∵0＜C＜π，∴-

π

6

＜2C-

π

6

＜

11π

6

，
∴2C-

π

6

=

π

2

，即C=

π

3

，
∵sinB=2sinA，∴由正弦定理得：b=2a①，
則由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcos

π

3

，即a²+b²-ab=3②，
聯(lián)立①②，解得：a=1，b=2．

點(diǎn)評：此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，正弦、余弦定理，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．