Question

19．已知雙曲線的漸近線方程為5x±12y=0，則以雙曲線的頂點為焦點，以雙曲線的焦點為頂點的橢圓的離心率為$\frac{12}{13}$．

Answer 1

分析 不妨設雙曲線的焦點在x軸上，取a=12，b=5，c=13，橢圓的頂點為雙曲線的焦點，焦點為雙曲線的頂點，可得a₁=c=13，且橢圓的半焦距c₁=a=12，由此結合橢圓的離心率公式即可得到本題答案．

解答 解：∵雙曲線的漸近線方程為5x±12y=0，
∴不妨設雙曲線的焦點在x軸上，取a=12，b=5，c=13，
∵橢圓的頂點為雙曲線的焦點，焦點為雙曲線的頂點，
∴a₁=c=13，且橢圓的半焦距c₁=a=12，
因此，該橢圓的離心率e=$\frac{12}{13}$．
故答案為：$\frac{12}{13}$．

點評 本題給出雙曲線的漸近線方程，求與雙曲線頂點焦點互換的橢圓的離心率，著重考查了橢圓、雙曲線的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．