Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ），其中（ω＞0，|φ|＜

π

2

）一段圖象（如圖）所示．
（1）求解析式．
（2）已知函數(shù)g（x）與f（x）關(guān)于直線x=

π

8

對(duì)稱，直線x=t（t∈R）與函數(shù)f（x）、g（x）的圖象分別交于M、N兩點(diǎn)，求|MN|在t∈[0，

π

2

]時(shí)的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：綜合題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由f（0）=2sinφ=1，|φ|＜

π

2

，可求得φ=

π

6

，易求ω＞

18

11

，又ω×

11π

12

+

π

6

=2kπ（k∈Z），可求得ω=2，于是可得函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2由函數(shù)g（x）與f（x）關(guān)于直線x=

π

8

對(duì)稱，可求得g（x）=2sin（2x+

π

3

），利用和差化積公式可求得|MN|=（

6

-

2

）cos（2t+

π

4

），利用余弦函數(shù)的單調(diào)性與最值，可求得|MN|在t∈[0，

π

2

]時(shí)的最大值．

解答： 解：（1）∵f（0）=2sinφ=1，
∴sinφ=

1

2

，又|φ|＜

π

2

，
φ=

π

6

，
∴f（x）=2sin（ωx+

π

6

），
∵0＜

3

4

•

2π

ω

＜

11π

12

，
∴ω＞

18

11

；
又ω×

11π

12

+

π

6

=2kπ（k∈Z），
∴ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）；
（2）∵函數(shù)g（x）與f（x）關(guān)于直線x=

π

8

對(duì)稱，
∴g（x）=f（

π

4

-x）=2sin[2（

π

4

-x）+

π

6

]=2cos（2x-

π

6

）=2sin（2x+

π

3

），
∵直線x=t（t∈R）與函數(shù)f（x）、g（x）的圖象分別交于M（t，2sin（2t+

π

6

））、N（t，2sin（2t+

π

3

））兩點(diǎn)，
∴|MN|=|2sin（2t+

π

3

）-2sin（2t+

π

6

）|
=2×2cos（2t+

π

4

）sin

π 3 - π 6

2

=4cos（2t+

π

4

）sin

π

12

=4sin（

π

3

-

π

4

）cos（2t+

π

4

）
=4×

6 - 2

4

cos（2t+

π

4

）
=（

6

-

2

）cos（2t+

π

4

），
∵t∈[0，

π

2

]，
∴2t+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，
∴cos（2t+

π

4

）∈[-

2

2

，

2

2

]，
∴|MN|_max=（

6

-

2

）×

2

2

=

3

-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，求得ω的值與g（x）的解析式是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查轉(zhuǎn)化思想與綜合應(yīng)用能力，屬于難題．