Question

15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱，若sinα=$\frac{1}{3}$，則cos（α-β）=-$\frac{7}{9}$．

Answer 1

分析 方法一：根據(jù)教的對稱得到sinα=sinβ=$\frac{1}{3}$，cosα=-cosβ，以及兩角差的余弦公式即可求出
方法二：分α在第一象限，或第二象限，根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系以及兩角差的余弦公式即可求出

解答 解：方法一：∵角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱，
∴sinα=sinβ=$\frac{1}{3}$，cosα=-cosβ，
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=-cos²α+sin²α=2sin²α-1=$\frac{2}{9}$-1=-$\frac{7}{9}$
方法二：∵sinα=$\frac{1}{3}$，
當(dāng)α在第一象限時，cosα=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∵α，β角的終邊關(guān)于y軸對稱，
∴β在第二象限時，sinβ=sinα=$\frac{1}{3}$，cosβ=-cosα=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$=-$\frac{7}{9}$
：∵sinα=$\frac{1}{3}$，
當(dāng)α在第二象限時，cosα=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∵α，β角的終邊關(guān)于y軸對稱，
∴β在第一象限時，sinβ=sinα=$\frac{1}{3}$，cosβ=-cosα=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$=-$\frac{7}{9}$
綜上所述cos（α-β）=-$\frac{7}{9}$，
故答案為：-$\frac{7}{9}$

點評 本題考查了兩角差的余弦公式，以及同角的三角函數(shù)的關(guān)系，需要分類討論，屬于基礎(chǔ)題