Question

20．已知函數(shù)f（x）=e^xcosx-x．
（1）求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數(shù)，可得切線的斜率和切點，由點斜式方程即可得到所求方程；
（2）求出f（x）的導數(shù)，再令g（x）=f′（x），求出g（x）的導數(shù)，可得g（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]的單調(diào)性，即可得到f（x）的單調(diào)性，進而得到f（x）的最值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=e^xcosx-x的導數(shù)為f′（x）=e^x（cosx-sinx）-1，
可得曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線斜率為k=e⁰（cos0-sin0）-1=0，
切點為（0，e⁰cos0-0），即為（0，1），
曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=1；
（2）函數(shù)f（x）=e^xcosx-x的導數(shù)為f′（x）=e^x（cosx-sinx）-1，
令g（x）=e^x（cosx-sinx）-1，
則g（x）的導數(shù)為g′（x）=e^x（cosx-sinx-sinx-cosx）=-2e^x•sinx，
當x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得g′（x）=-2e^x•sinx≤0，
即有g(shù)（x）在[0，$\frac{π}{2}$]遞減，可得g（x）≤g（0）=0，
則f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]遞減，
即有函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值為f（0）=e⁰cos0-0=1；
最小值為f（$\frac{π}{2}$）=e${\;}^{\frac{π}{2}}$cos$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{2}$=-$\frac{π}{2}$．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、最值，考查化簡整理的運算能力，正確求導和運用二次求導是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．