Question

 已知函數(shù)f(x)＝mx²－x＋lnx.

(1) 當(dāng)m＝－1時，求f(x)的最大值；

(2) 若在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)存在區(qū)間D，使得該函數(shù)在區(qū)間D上為減函數(shù)，求m的取值范圍；

(3) 當(dāng)m＞0時，若曲線C：y＝f(x)在點(diǎn)x＝1處的切線l與C有且只有一個公共點(diǎn)，求m的值．

Answer 1

 (1) 當(dāng)m＝－1時，f(x)＝－x²－x＋lnx，

所以f′(x)＝－2x－1＋＝－，

所以當(dāng)0＜x＜，f′(x)＞0，當(dāng)x＞，f′(x)＜0，

因此當(dāng)x＝時，f(x)_max＝f＝－－ln2.(3分)

(2) f′(x)＝2mx－1＋＝，即2mx²－x＋1＜0在(0，＋∞)上有解．

① m≤0顯然成立；

② m＞0時，由于對稱軸x＝＞0，故Δ＝1－8m＞0m＜，

綜上，m＜.(8分)

(3) 因為f(1)＝m－1，f′(1)＝2m，

所以切線方程為y－m＋1＝2m(x－1)，即y＝2mx－m－1，

從而方程mx²－x＋lnx＝2mx－m－1在(0，＋∞)上只有一解．

令g(x)＝mx²－x＋lnx－2mx＋m＋1，則

g′(x)＝2mx－1－2m＋＝＝，

所以1° m＝，g′(x)≥0，

所以y＝g(x)在x∈(0，＋∞)單調(diào)遞增，且g(1)＝0，

所以mx²－x＋lnx＝2mx－m－1只有一解．(12分)

2° 0＜m＜，x∈(0，1)，g′(x)＞0；x∈，g′(x)＜0；x∈，g′(x)＞0

由g(1)＝0及函數(shù)單調(diào)性可知g＜0，

因為g(x)＝mx＋m＋lnx＋1，取x＝2＋，則g＞0.

因此在方程mx²－x＋lnx＝2mx－m－1必有一解從而不符題意(14分)

3° m＞，x∈，g′(x)＞0；x∈，g′(x)＜0；x∈(1，＋∞)，g′(x)＞0

    同理在方程mx²－x