Question

【題目】已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，記；

（1）求實(shí)數(shù)、的值；

（2）若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍；

（3）對(duì)于定義在上的函數(shù)，設(shè)，，用任意的將劃分為個(gè)小區(qū)間，其中，若存在一個(gè)常數(shù)，使得恒成立，則稱(chēng)函數(shù)為上的有界變差函數(shù)；

①試證明函數(shù)是在上的有界變差函數(shù)，并求出的最小值；

②寫(xiě)出是在上的有界變差函數(shù)的一個(gè)充分條件，使上述結(jié)論成為其特例；（不要求證明）

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）①證明見(jiàn)解析，；②詳見(jiàn)解析

【解析】

由已知中在區(qū)間的最大值為4，最小值為1，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及最值，我們易構(gòu)造出關(guān)于a，b的方程組，解得a，b的值求出，對(duì)任意恒成立等價(jià)于恒成立，求實(shí)數(shù)k的范圍（3）根據(jù)有界變差函數(shù)的定義，我們先將區(qū)間進(jìn)行劃分，進(jìn)而判斷成立，進(jìn)而得到結(jié)論

函數(shù)，

，對(duì)稱(chēng)軸，

在區(qū)間上是增函數(shù)，

又函數(shù)故在區(qū)間上的最大值為4，最小值為1，

，

解得：，．

故實(shí)數(shù)a的值為1，b的值為0．

由可知，

，

，

對(duì)任意恒成立，

令

根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)可得

則恒成立，即：

令，

則有：，

解得：，

即，

得：

故得實(shí)數(shù)k的范圍為．

（3）①函數(shù)為上的有界變差函數(shù)．

因?yàn)楹瘮?shù)為上的單調(diào)遞增函數(shù)，且對(duì)任意劃分T：，

有，

所以

恒成立，

所以存在常數(shù)M，使得是恒成立．

M的最小值為4，即.

②是在上的有界變差函數(shù)的一個(gè)充分條件：在上單調(diào)遞增且.