Question

16．已知函數(shù)f（x）=log₂（|x+1|+|x-1|-a）
（1）當(dāng)a=3時(shí)，求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若不等式f（x）≥2的解集為R，求實(shí)數(shù)a的最大值．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的解析式可得|x+1|+|x-1|＞3，把它轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組，求出每個(gè)不等式組的解集，再取并集，記得所求．
（2）由題意可得f（x）≥2恒成立，即|x+1|+|x-1|-a≥4 恒成立，利用絕對值三角不等式求得|x+1|+|x-1|的最小值為2，可得 2-a≥4，由此求得實(shí)數(shù)a的最大值．

解答 解：（1）當(dāng)a=3時(shí)，函數(shù)f（x）=log₂（|x+1|+|x-1|-a）=log₂（|x+1|+|x-1|-3），
∴|x+1|+|x-1|-3＞0，即|x+1|+|x-1|＞3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{-x-1+1-x＞3}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤1}\\{x+1+（1-x）＞3}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{x+1+x-1＞3}\end{array}\right.$③．
解①求得x＜-$\frac{3}{2}$，解②求得x∈∅，解③求得x＞$\frac{3}{2}$，
故函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x＜-$\frac{3}{2}$，或x＞$\frac{3}{2}$}．
（2）若不等式f（x）≥2的解集為R，則f（x）≥2恒成立，
故|x+1|+|x-1|-a≥4．
∵|x+1|+|x-1|≥|x+1-（x-1）|=2，
∴2-a≥4，故有a≤-2，
故實(shí)數(shù)a的最大值為-2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對值不等式的解法，絕對值三角不等式，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．