Question

在二項式（

x

+

1

2 4 x

）ⁿ的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列．
（1）求展開式中的二項式系數(shù)最大的項；
（2）求展開式中的有理項．

Answer 1

考點：計數(shù)原理的應用

專題：二項式定理

分析：根據(jù)展開式的通項公式，再根據(jù)等差中項的性質即可求出n的值，然后再根據(jù)二項式定理問題得以解決

解答： 解∵∵（

x

+

1

2 4 x

）ⁿ，
∴T_k+1=

C

k n

•(

x

)n-k•(

1

2 4 x

)k=

C

k n

•2^-k•x4-

3

4

k，
分別令k=0，k=1，k=2，
∴二項展開式的前三項的系數(shù)分別為1，

n

2

，

1

8

n（n-1），
∵前三項的系數(shù)成等差數(shù)列．         
∴2×

n

2

=1+

1

8

n（n-1），解得n=8或n=1（不合題意，舍去）        
（1）因為n=8，所以展開式中共9項，中間一項即第5項的系數(shù)最大，
∴T₅=

35

8

x                                  
（2）∵T_k+1═

C

k n

•2^-k•x4-

3

4

k，
當4-

3

4

k∈Z時，T_r+1為有理項，
又0≤k≤8且k∈Z，
∴k=0，4，8符合要求．
故展開式中的有理項有3項，分別是：T₁=x⁴，T₅=

35

8

x，T₉=

1

256x2

點評：本題考查了二項式定里，關鍵是掌握展開式的通項，屬于基礎題