Question

9．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=9，其前n項和為S_n，對n∈N^*，n≥2，都有S_n=3（S_n-1+3）
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；  
（Ⅱ）求證：數(shù)列{S_n+$\frac{9}{2}$}是等比數(shù)列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得a_n+1=3a_n．從而{a_n}是公比為3，首項為9的等比數(shù)列，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）求出S_n=-$\frac{9}{2}$+$\frac{9}{2}$-3ⁿ，從而${S}_{n}+\frac{9}{2}$=$\frac{9}{2}$•3ⁿ=$\frac{27}{2}•{3}^{n-1}$，由此能證明數(shù)列{${S}_{n}+\frac{9}{2}$}是以$\frac{27}{2}$為首項，公比為3的等比數(shù)列．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n=3（S_n-1+3），∴S_n+1=3（S_n+3），
∴a_n+1=3a_n．故{a_n}是公比為3，首項為9的等比數(shù)列，
∴a_n=3ⁿ⁺¹．---（5分）
證明：（Ⅱ）因為${a}_{n}=9•{3}^{n-1}$，所以S_n=$\frac{9（1-{3}^{n}）}{1-3}$=-$\frac{9}{2}$+$\frac{9}{2}$-3ⁿ，（7分）
所以，${S}_{n}+\frac{9}{2}$=$\frac{9}{2}$•3ⁿ=$\frac{27}{2}•{3}^{n-1}$，（9分）
${S}_{1}+\frac{9}{2}$=$\frac{9}{2}•3$=$\frac{27}{2}$，$\frac{{S}_{n+1}+\frac{9}{2}}{{S}_{n}+\frac{9}{2}}$=$\frac{\frac{27}{2}•{3}^{n}}{\frac{27}{2}•{3}^{n-1}}$=3．（10分）
故，數(shù)列{${S}_{n}+\frac{9}{2}$}是以$\frac{27}{2}$為首項，公比為3的等比數(shù)列．（12分）

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查等比數(shù)列的證明，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．