Question

4．某中學(xué)在運(yùn)動會期間舉行定點(diǎn)投籃比賽，規(guī)定每人投籃4次，投中一球得2分，沒有投中得0分，假設(shè)每次投籃投中與否是相互獨(dú)立的．已知小明每次投籃投中的概率都是 $\frac{1}{3}$．
（1）求小明在4次投籃中有三次投中的概率；
（2）求小明在4次投籃后的總得分X的分布列．

Answer 1

分析 （1）小明每次投籃投中的概率都是 $\frac{1}{3}$，由此利用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率計算公式能求出小明在4次投籃中有三次投中的概率．
（2）由題意知X的可能取值為0，2，4，6，8，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列．

解答 解：（1）∵小明每次投籃投中的概率都是 $\frac{1}{3}$．
∴小明在4次投籃中有三次投中的概率：
p=${C}_{4}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}（\frac{2}{3}）$=$\frac{8}{81}$．
（2）由題意知X的可能取值為0，2，4，6，8，
P（X=0）=（$\frac{2}{3}$）⁴=$\frac{16}{81}$，
P（X=2）=C${\;}_{4}^{1}$（$\frac{1}{3}$）（$\frac{2}{3}$）³=$\frac{32}{81}$，
P（X=4）=C$\frac{2}{4}$^{（$\frac{1}{3}$）2}（$\frac{2}{3}$）²=$\frac{8}{27}$，
P（X=6）=${C}_{4}^{3}$（$\frac{1}{3}$）³（$\frac{2}{3}$）=$\frac{8}{81}$，
P（X=8）=（$\frac{1}{3}$）⁴=$\frac{1}{81}$．
所以X的分布列為：

X	0	2	4	6	8
P	$\frac{16}{81}$	$\frac{32}{81}$	$\frac{8}{27}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{1}{81}$

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率計算公式的合理運(yùn)用．