Question

已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)P（2，1），離心率，直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)  （A，B均異于點(diǎn)P），且有．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求證：直線l過定點(diǎn)．

Answer 1

解：（1）由題意得橢圓經(jīng)過點(diǎn)P（2，1）
所以，
又因為，a²=b²+c²，
∴a²=8，b²=2，c²=6．故方程為．
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
當(dāng)直線l的斜率存在時設(shè)直線l的方程為：y=kx+m
直線l與橢圓C的方程聯(lián)立，消去y得，（1+4k²）x²+8kmx+4m²-8=0．
則．
=（x₁-2）（x₂-2）+（y₁-1）（y₂-1）=（x₁-2）（x₂-2）+（kx₁+m-1）（kx₂+m-1）
=（1+k²）x₁x₂+
=
∴（6k+5m+3）（2k+m-1）=0．
若6k+5m+3=0，則l：，∴直線l過定點(diǎn)．
若2k+m-1=0，則l：y=kx-2k+1=k（x-2）+1，∴直線l過定點(diǎn)（2，1），即為P點(diǎn)（舍去）．
當(dāng)斜率k不存在，易知，符合題意．
綜上，直線l過定點(diǎn)
分析：（1）由題意得橢圓經(jīng)過點(diǎn)P（2，1）所以可得a與b的一個關(guān)系式，結(jié)合，a²=b²+c²，可解出a，b，c．
（2）證明：設(shè)出A，B兩個點(diǎn)的坐標(biāo)，再分斜率存在與不存在兩種情況設(shè)出直線l方程．
當(dāng)斜率存在時：y=kx+m，直線l與橢圓C的方程聯(lián)立，消去y得，（1+4k²）x²+8kmx+4m²-8=0．結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系表示出=
所以（6k+5m+3）（2k+m-1）=0．可解出答案．當(dāng)斜率k不存在，易知，符合題意．
點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確的運(yùn)算，抓住向量的數(shù)量積等于0結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系準(zhǔn)確的化簡得出結(jié)果，本題出錯的關(guān)鍵是不能準(zhǔn)確的進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，正確的代數(shù)運(yùn)算也是高考成功的條件之一．