Question

16．設(shè)變量x，y滿足$\left\{{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{x+2y-2≥0}\\{3x+y-9≤0}\end{array}}\right.$．若z=a²x+y（a＞0）的最大值為 4．則 a=$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)求得a值．

解答 解：畫出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，
由z=a²x+y得y=-a²x+z，目標函數(shù)z的最大值，即是直線y=-a²x+z在y軸上的最大截距．
由圖形可知，當(dāng)直線y=-a²x+z過點A時，在y軸上的截距取得最大值．
由$\left\{{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{3x+y-9=0}\end{array}}\right.$，解得$A（{\frac{7}{4}，\frac{15}{4}}）$，則$\frac{7}{4}{a^2}+\frac{15}{4}=4$，
注意到a＞0，求得$a=\frac{{\sqrt{7}}}{7}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{7}}}{7}$．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．