Question

已知函數(shù)，
（1）若k=-1，求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（2）討論函數(shù)f（x）的奇偶性，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由k=-1，我們可以求出函數(shù)的解析式，進(jìn)而求出其導(dǎo)函數(shù)的解析式，分析導(dǎo)函數(shù)在x∈（0，+∞）時(shí)的符號(hào)，可得答案．
（2）當(dāng)k=0時(shí)，f（x）=f（-x），根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義可得此時(shí)函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)k≠0時(shí)，f（x）≠f（-x）且f（x）≠-f（-x），根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義可得此時(shí)，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)．
解答：證明：（1）若k=-1，
則
則
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)
f′（x）＞0恒成立
故f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
解：（2）當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)k≠0時(shí)，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，
理由如下：
當(dāng)k=0時(shí)，f（x）=x²，f（-x）=x²
∵f（x）=f（-x）
∴當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù)
當(dāng)k≠0時(shí)，，
∵f（x）≠f（-x）且f（x）≠-f（-x）
∴當(dāng)k≠0時(shí)，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，其中（1）的關(guān)鍵是求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的解析式，（2）的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)奇偶的定義．