Question

已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間上存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）知果當(dāng)x≥1時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）求證：，這里n∈N^*，（n+1）!=1×2×3×…×（n+1），e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出定義域，再對(duì)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)問(wèn)題，先求出極值點(diǎn)；
（2）已知條件當(dāng)x≥1時(shí)，不等式恒成立，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為k≤，利用了常數(shù)分離法，只要求出的最小值即可，可以令新的函數(shù)g（x），然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）的最值問(wèn)題，從而求出k的范圍；
（3）利用（2）的恒成立式子，可有l(wèi)n[k（k+1）]＞1-，利用此不等式對(duì)所要證明的不等式兩邊進(jìn)行放縮，從而進(jìn)行證明；
解答：解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）==-，
f′（x）＞0?lnx＜0?0＜x＜1，
f′（x）＜0?lnx＞0?x＞1，
所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，函數(shù)f（x）在x=1處取得唯一的極值，
由題意，a＞0，且a＜1＜a+，解得＜a＜1，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為＜a＜1；
（2）當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≥?≥?k≤，
令g（x）=（x≥1），由題意，k≤g（x）在[1，+∞）上恒成立，
g′（x）==，
令h（x）=x-lnx（x≥1），則h′（x）=1-≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，
所以h（x）=x-lnx在[1，+∞）上單調(diào)遞增，h（x）≥h（1）=1＞0，
因此g′（x）=＞0，g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，g（x）_min=g（1）=2，
所以k≤2；
（3）由（2），當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≥，即≥，
從而lnx≥1-＞1-，
令x=k（k+1），k∈N₊，則有l(wèi)n[k（k+1）]＞1-，
分別令k=1，2，3，…，n（n≥2）則有l(wèi)n（1×2）＞1-，ln（2×3）＞1-，…，
ln[n（n-1）]＞1-，ln[n（n+1）]＞1-，
將這個(gè)不等式左右兩端分別相加，則得，
ln[1×2²×3²×…×n²（n+1）]＞n-2[++…+]=n-2+，
故1×2²×3²×…×n²（n+1）＞，從而，
當(dāng)n=1時(shí)，不等式顯然成立；
所以?n∈N₊，；
點(diǎn)評(píng)：此題難度比較大，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值問(wèn)題，第三問(wèn)難度最大，需要對(duì)不等式的兩邊進(jìn)行放縮，巧妙利用第（2）問(wèn)的條件得到一個(gè)不等式，利用這個(gè)不等式進(jìn)行放縮證明，是我們常用的方法；