【題目】已知函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)若函數(shù)的圖象在處的切線為,當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí),求證:直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn);
(Ⅱ)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)見(jiàn)解析. (2).
【解析】分析:(Ⅰ)利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率,點(diǎn)斜式可得切線方程為直線的方程為,可得直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn);(Ⅱ)分兩種情況討論的范圍,函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于有兩個(gè)不同的解,分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合零點(diǎn)存在定理與函數(shù)圖象,列不等式可篩選出函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的實(shí)數(shù)的取值范圍.
詳解:(Ⅰ)∵,∴,.
又∵,∴直線的方程為,
∴直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(-2,0).
(Ⅱ)∵,∴.
設(shè),則.
當(dāng)時(shí),,即在上單調(diào)遞增,則最多有一個(gè)零點(diǎn),函數(shù)至多有一個(gè)極值點(diǎn),與條件不符;
當(dāng)時(shí),由,得.
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.
∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
∴,即.
令,解得.
∵,,∴,
∵在上單調(diào)遞增,∴在上有唯一零點(diǎn),
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.
∴在上有唯一極值點(diǎn).
又∵當(dāng)時(shí),.
設(shè),其中,則,
∴,∴.
即當(dāng)時(shí),,
而 ,
∵在上單調(diào)遞減,∴在上有唯一零點(diǎn),
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.
∴在上有唯一極值點(diǎn).
綜上所述,當(dāng)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí),.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
(1)求函數(shù)的周期;
(2)求函數(shù)的最大值,并求使函數(shù)取得最大值時(shí)x的集合;
(3)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求證:;
(2)討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】先閱讀下列不等式的證法,再解決后面的問(wèn)題:
已知,,求證:.
證明:構(gòu)造函數(shù),
即
.
因?yàn)閷?duì)一切,恒有,
所以,從而得.
(1)若,,請(qǐng)寫(xiě)出上述結(jié)論的推廣式;
(2)參考上述證法,對(duì)你推廣的結(jié)論加以證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在四棱錐中,底面是正方形,頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心,且各頂點(diǎn)都在同一球面上,若該四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為,體積為4,且四棱錐的高為整數(shù),則此球的半徑等于( )(參考公式:)
A. 2B. C. 4D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在多面體中,平面⊥平面,,,DE AC,AD=BD=1.
(Ⅰ)求AB的長(zhǎng);
(Ⅱ)已知,求點(diǎn)E到平面BCD的距離的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,其中且,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)是否存在,對(duì)任意的,任意的,都有?若存在,求出的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義在上的函數(shù)滿足,當(dāng)時(shí),,函數(shù).若對(duì)任意,存在,不等式成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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【題目】在四棱錐中,底面是正方形,頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心,且各頂點(diǎn)都在同一球面上,若該四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為,體積為4,且四棱錐的高為整數(shù),則此球的半徑等于(參考公式:)( )
A. B. C. D.
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