【題目】已知函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(Ⅰ)若函數(shù)的圖象在處的切線為,當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí),求證:直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn);

(Ⅱ)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】(1)見(jiàn)解析. (2).

【解析】分析:()利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率,點(diǎn)斜式可得切線方程為直線的方程為可得直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn);()分兩種情況討論的范圍,函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于有兩個(gè)不同的解,分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合零點(diǎn)存在定理與函數(shù)圖象,列不等式可篩選出函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的實(shí)數(shù)的取值范圍.

詳解(Ⅰ)∵,∴,.

又∵,∴直線的方程為,

∴直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(-2,0).

(Ⅱ)∵,∴.

設(shè),則.

當(dāng)時(shí),,即上單調(diào)遞增,則最多有一個(gè)零點(diǎn),函數(shù)至多有一個(gè)極值點(diǎn),與條件不符;

當(dāng)時(shí),由,得.

當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.

上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

,即.

,解得.

,∴,

上單調(diào)遞增,∴上有唯一零點(diǎn),

當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.

上有唯一極值點(diǎn).

又∵當(dāng)時(shí),.

設(shè),其中,則,

,∴.

即當(dāng)時(shí),

,

上單調(diào)遞減,∴上有唯一零點(diǎn),

當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.

上有唯一極值點(diǎn).

綜上所述,當(dāng)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí),.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知,求證:.

證明:構(gòu)造函數(shù)

.

因?yàn)閷?duì)一切,恒有,

所以,從而得.

1)若,,請(qǐng)寫(xiě)出上述結(jié)論的推廣式;

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(2)是否存在,對(duì)任意的,任意的,都有?若存在,求出的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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A. B. C. D.

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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