Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)a、b∈R且a+b≠0時，總有[f（a）+f（b）]（a+b）＞0成立．
（1）若a＞b，比較f（a）與f（b）的大�。�
（2）若關(guān)于x的不等式f（m×2^x）+f（2^x-4^x+m）＜0對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)抽象函數(shù)的表達式，將條件進行轉(zhuǎn)化即可判斷，
（2）利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)將不等式進行轉(zhuǎn)化，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）若a＞b，則a+（-b）＞0，
∵當(dāng)a、b∈R且a+b≠0時，總有[f（a）+f（b）]（a+b）＞0成立．
∴[f（a）+f（-b）]（a-b）＞0成立．
即f（a）+f（-b）＞0，
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（a）+f（-b）＞0等價為f（a）-f（b）＞0，
即f（a）＞f（b），
即函數(shù)f（x）為增函數(shù)．
（2）關(guān)于x的不等式f（m×2^x）+f（2^x-4^x+m）＜0對一切實數(shù)x恒成立，
等價為f（m×2^x）＜-f（2^x-4^x+m）=f（-2^x+4^x-m）對一切實數(shù)x恒成立，
∵函數(shù)f（x）為增函數(shù)．
∴不等式等價為m×2^x＜-2^x+4^x-m，
即m（1+2^x）＜-2^x+4^x=（2^x+1）（2^x-1）恒成立，
∵1+2^x＞0，
∴不等式等價為m＜2^x-1恒成立，
∵2^x-1＞-1，
∴m≤-1．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．