Question

在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2

2

，∠ABC=90°（如圖1）．把△ABD沿BD翻折，使得二面角A-BD-C的平面角為θ（如圖2）
（1）若θ=

π

2

，求證：CD⊥AB；
（2）是否存在適當(dāng)θ的值，使得AC⊥BD，若存在，求出θ的值，若不存在說(shuō)明理由；
（3）取BD中點(diǎn)M，BC中點(diǎn)N，P、Q分別為線段AB與DN上一點(diǎn)，使得

AP

PB

=

NQ

QD

=λ(λ∈R)．令PQ與BD和AN所成的角分別為θ₁和θ₂．求證：對(duì)任意θ∈（0．π），總存在實(shí)數(shù)λ，使得sinθ₁+sinθ₂均存在一個(gè)不變的最大值．并求出此最大值和取得最大值時(shí)θ與λ的關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）先證明CD⊥BD，利用平面ABD⊥平面BCD，可得CD⊥平面ABD，利用線面垂直的性質(zhì)可得CD⊥AB；
（2）不存在．由AC⊥BD，CD⊥BD，AC∩CD=C，可得BD⊥平面ACD，BD⊥AD，與∠ABC=90°矛盾；
（3）BN線段取點(diǎn)R使得

AP

PB

=

NR

RB

=

NQ

QD

=λ(λ∈R)，從而易得PR∥AN且RQ∥BDA，θ₁=∠PQR，θ₂=∠QPR，確定
θ₁+θ₂，利用基本不等式，即可求sinθ₁+sinθ₂的最大值．此時(shí)有PR=QR，利用比例關(guān)系，結(jié)合余弦定理，即可得出取得最大值時(shí)θ與λ的關(guān)系．

解答： （1）證明：由已知條件可得BD=2，CD=2，CD⊥BD．
∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，
∴CD⊥平面ABD．
又∵AB?平面ABD，
∴CD⊥AB．
（2）解：不存在．
∵AC⊥BD，CD⊥BD，AC∩CD=C，
∴BD⊥平面ACD，
∵AD?平面ACD，
∴BD⊥AD，與∠ABC=90°矛盾，
故不存在；
（3）證明：在BN線段取點(diǎn)R使得

AP

PB

=

NR

RB

=

NQ

QD

=λ(λ∈R)
從而易得PR∥AN且RQ∥BDA，θ₁=∠PQR，θ₂=∠QPR
另一方面，AM⊥BD，MN⊥BD，從而θ=∠AMN．
∵AM⊥BD，MN⊥BD，AM∩MN=M，
∴BD⊥AN，
∵PR∥AN，RQ∥BD，
∴∠PRQ=

π

2

，
從而有θ1+θ2=

π

2

⇒sin2θ1+sin2θ2=1，
∴sinθ1+sinθ2≤

2(sin2θ1+sin2θ2)

=

2

當(dāng)且僅當(dāng)sinθ₁=sinθ₂，即θ₁=θ₂時(shí)取得最大值．
此時(shí)有PR=QR，
又∵

PR

AN

=

BP

BA

=

1

1+λ

⇒PR=

1

1+λ

AN=

1

1+λ

AM2+MN2-2MN•ANcosθ

=

1

1+λ

2-2cosθ

，

QR

BD

=

NQ

ND

=

λ

1+λ

⇒QR=

λ

1+λ

BD=

λ

1+λ

•2=

2λ

1+λ

，
∴PR=QR⇒

1

1+λ

2-2cosθ

=

2λ

1+λ

⇒

2-2cosθ

=2λ⇒λ=

1-cosθ 2

=sin

θ

2

…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本不等式的運(yùn)用，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力等，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．