Question

如圖，在半徑為R、圓心角為60°的扇形AB弧上任取一點(diǎn)P，作扇形的內(nèi)接矩形PNMQ，使點(diǎn)Q在OA上，點(diǎn)M，N在OB上，設(shè)∠BOP=θ，矩形PNMQ的面積記為S．
（1）求S與θ之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求矩形PNMQ面積的最大值及相應(yīng)的θ值．

Answer 1

分析：（1）在Rt△PON中，利用直角三角形中的邊角關(guān)系求得 PN=Rsinθ，ON=Rcosθ，以及MQ和OM，可得關(guān)于矩形的面積S的解析式，化簡可得結(jié)果．
（2）由S的解析式并利用正弦函數(shù)的定義域有何值域可得，當(dāng)2θ+30°=90°時，sin（2θ+30°）_max=1，可得當(dāng)θ=30°時，Smax=

3

3

R2-

3

6

R2，由此可得結(jié)論．

解答：解：（1）在Rt△PON中，PN=Rsinθ，ON=Rcosθ．
∵四邊形PNMQ為矩形，∴MQ=PN=Rsinθ．…（2分）
故在Rt△OMQ中，OM=

MQ

tan60°

=

3

3

Rsinθ，
所以MN=ON-OM=Rcosθ-

3

3

Rsinθ．…（4分）
則S=PN•MN=Rsinθ(Rcosθ-

3

3

Rsinθ)．…（6分）
=R2(sinθcosθ-

3

3

sin2θ)=R2(

1

2

sin2θ-

3

3

1-cos2θ

2

)=

3

3

R2sin(2θ+30°)-

3

6

R2．…（11分）
（2）因?yàn)楫?dāng)2θ+30°=90°時，sin（2θ+30°）_max=1，所以，當(dāng)θ=30°時，Smax=

3

3

R2-

3

6

R2，
所以矩形PNMQ面積的最大值為

3

6

R2，∠BOP=30°．…（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查直角三角形中的邊角關(guān)系，三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．