已知函數(shù)

(I)當(dāng)a=18時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(II)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.

 

【答案】

(1)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(4,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(0.4).

(2)e2-4e+2-a.

【解析】

試題分析:解:(1)當(dāng)a=18時(shí),f(x)=x2-4x-16lnx(x>0),所以f'(x)=2x-4- ,由f'(x)>0,解得x>4或一2<x<0,注意到x>0,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(4,+∞).由f'(x)<0,解得0<x<4或x<-2.注意到x>0,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,4).綜上所述,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(4,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(0.4).(2)當(dāng)x∈[e,e2]時(shí),f(x)=x2-4x+(2-x)lnx, f'(x)=2x-4+ 設(shè)g(x)=2x2-4x+2-a.當(dāng)a<0時(shí),有△=16-4×2(2-a)=8a<0,此時(shí)g(x)>0恒成立,所以f'(x)>0,f(x)在[e,e2]上單調(diào)遞增,所以f(x)min=f(e)=e2-4e+2-a.當(dāng)a>0時(shí),△=16-4×2(2-a)=8a>0,令f'(x)>0,即2x2-4x+2-a>0,解得x>1+或x<1-令f'(x)<0,即2x2-4x+2-a<0,解得1-<x<.①當(dāng)≥e2,即a≥2(e2-1)2時(shí),f(x)在區(qū)間[e,e2]上單調(diào)遞減,所以f(x)min=f(e2)=e4-4e2+4-2a;②當(dāng)e<<e2,即2(e-1)2<a<2(e2-1)2時(shí),在區(qū)間[e,]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[,e2]上單調(diào)遞增,所以f(x)min=f()=a-3+(2-a)ln();③當(dāng)≤e,即0<a≤2(e-1)2時(shí),以f(x)在區(qū)間[e,e2]上單調(diào)遞增,所以f(x)min=f(e)=e2-4e+2-a.綜上所述,當(dāng)a≥2(e2-1)2時(shí),f(x)min=e4-4e2+4-2a;當(dāng)2(e-1)2<a<2(e2-1)2時(shí),f(x)min=-3+(2-a)ln();當(dāng)a<0或0<a≤2(e-1)2時(shí),f(x)min=e2-4e+2-a.

考點(diǎn):導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用

點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法,考查函數(shù)的最小值的求法,綜合性強(qiáng),難度大,計(jì)算繁瑣.解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意分類討論思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用。

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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   (I)當(dāng)a<0時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

   (II)若函數(shù)f(x)在[1,e]上的最小值是求a的值.

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(I)當(dāng)a=2時(shí),求函數(shù)的最大值和最小值;

(II)若函數(shù),求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;

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(本小題滿分12分)

已知函數(shù)

   (I)當(dāng)a=1時(shí),求的最小值;

   (II)求證:在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減。

 

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