Question

已知圓C的圓心在射線3x-y=0（x≥0）上，圓C與x軸相切，且被直線x-y=0截得的弦長為2

7

．
（1）求圓C的方程；
（2）點為圓C上任意一點，不等式x+y+m≥0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）依題意設(shè)圓心坐標為（a，3a）（a＞0），由圓與x軸相切，得到半徑為|3a|，進而表示出圓C的標準方程，由垂徑定理及勾股定理表示出圓心到直線y=x的距離d，再利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線y=x的距離，兩者相等列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可確定出圓C的方程；
（2）由（1）求出的圓C方程，設(shè)x=1+3cosθ，y=3+3sinθ（θ∈[0，2π]），代入已知的不等式中，分離出m，去括號整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，由不等式恒成立得到m大于等于-x-y的最大值，由正弦函數(shù)的值域確定出-x-y的最大值，即可得到滿足題意m的范圍．

解答：解：（1）依題設(shè)圓心坐標（a，3a）（a＞0），
∵圓與x軸相切，∴圓的半徑R=|3a|，
∴圓C的方程可設(shè)為（x-a）²+（y-3a）²=9a²，
∵R=|3a|，弦長為2

7

，
∴圓心到直線y=x的距離d=

(3a)2-( 7 )2

=

9a2-7

，
由點到直線的距離公式得：d=

|a-3a|

2

，
∴

9a2-7

=

|a-3a|

2

，
解得：a=±1，
又a＞0，∴a=1，
則圓C方程為（x-1）²+（y-3）²=9；
（2）設(shè)x=1+3cosθ，y=3+3sinθ（θ∈[0，2π]），
則m≥-x-y=-（1+3cosθ）-（3+3sinθ）=-4-3sinθ-3cosθ=-4-3

2

sin（θ+

π

4

），
∵對任意θ∈[0，2π]恒成立，∴m≥（-x-y）_max，
∵（-x-y）_max=-4+3

2

，
∴m≥-4+3

2

．

點評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：點到直線的距離公式，圓的標準方程，垂徑定理，勾股定理，點到直線的距離公式，圓的極坐標方程，不等式恒成立問題，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，是一道綜合性較強的題．