Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-x，g（x）=x²-alnx．a(chǎn)＞0
（1）寫出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，并證明e^a＞a；
（2）討論函數(shù)y=g（x）在區(qū)間（1，e^a）上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x）=e^x-1，令其等于零找出函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)，得到當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）=e^x-1＞0，推出f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，因?yàn)閍＞0，得f（a）＞f（0）=1＞0，即e^a-a＞0得證．
（2）由e^a＞a（a≥0），函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)g′（x），然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，e^a）上的最小值，最后討論最小值的符號(hào)，從而確定函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，e^a）上的零點(diǎn)情況．

解答：解：（1）∵f（x）=e^x-x，∴f′（x）=e^x-1，
令f′（x）=0，得到x=0．
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）=e^x-1＞1-1=0，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[0，+∞）．
∵a＞0，∴f（a）＞f（0）=1＞0．
所以，e^a-a＞0，即e^a＞a．
（2）∵g（x）=x²-alnx．a(chǎn)＞0，
∴g′（x）=2x-

a

x

=

2x2-a

x

=

2(x- 2a 2 )(x+ 2a 2 )

x

．
當(dāng)0＜x＜

2a

2

時(shí)，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x＞

2a

2

時(shí)，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)．
∴g（x）min=g（

2a

2

）=

a

2

（1-ln

a

2

）．
①當(dāng)

a

2

（1-ln

a

2

）＞0，即0＜a＜2e時(shí)，函數(shù)f（x）在（1，e^a）上無零點(diǎn)；
②當(dāng)

a

2

（1-ln

a

2

）=0，即a=2e時(shí)，

2a

2

=

e

，則1＜

2a

2

＜e^a，
而f（1）=1＞0，f（

2a

2

）=0，f（e^a）＞0，
∴f（x）在（1，e^a）上有一個(gè)零點(diǎn)；
③當(dāng)

a

2

（1-ln

a

2

）＜0，
即a＞2e時(shí)，e^a＞

2a

2

＞

e

＞1，有1＜

2a

2

＜ea．
而g（1）=1＞0，g（e^a）=e^2a-a²=（e^a-a）（e^a+a）＞0，
當(dāng)a＞2e時(shí)，g（x）min=g（

2a

2

）=

a

2

（1-ln

a

2

）＜0，
所以，當(dāng)a＞2e時(shí)，函數(shù)g（x）在（1，e^a）上有兩個(gè)零點(diǎn)．
綜上所述：當(dāng)0＜a＜2e時(shí)，函數(shù)f（x）有、無零點(diǎn)；
a=2e時(shí)，函數(shù)f（x）有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)a＞2e時(shí)，函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．