Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-x，g（x）=x²-alnx．a(chǎn)＞0
（1）寫出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，并證明e^a＞a；
（2）討論函數(shù)y=g（x）在區(qū)間（1，e^a）上零點的個數(shù)．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x）=e^x-1，令其等于零找出函數(shù)的穩(wěn)定點，得到當x＞0時，f′（x）=e^x-1＞0，推出f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，因為a＞0，得f（a）＞f（0）=1＞0，即e^a-a＞0得證．
（2）由e^a＞a（a≥0），函數(shù)的導函數(shù)g′（x），然后利用導數(shù)研究函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，e^a）上的最小值，最后討論最小值的符號，從而確定函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，e^a）上的零點情況．

解答：解：（1）∵f（x）=e^x-x，∴f′（x）=e^x-1，
令f′（x）=0，得到x=0．
當x＞0時，f′（x）=e^x-1＞1-1=0，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[0，+∞）．
∵a＞0，∴f（a）＞f（0）=1＞0．
所以，e^a-a＞0，即e^a＞a．
（2）∵g（x）=x²-alnx．a(chǎn)＞0，
∴g′（x）=2x-

a

x

=

2x2-a

x

=

2(x- 2a 2 )(x+ 2a 2 )

x

．
當0＜x＜

2a

2

時，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)；
當x＞

2a

2

時，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)．
∴g（x）min=g（

2a

2

）=

a

2

（1-ln

a

2

）．
①當

a

2

（1-ln

a

2

）＞0，即0＜a＜2e時，函數(shù)f（x）在（1，e^a）上無零點；
②當

a

2

（1-ln

a

2

）=0，即a=2e時，

2a

2

=

e

，則1＜

2a

2

＜e^a，
而f（1）=1＞0，f（

2a

2

）=0，f（e^a）＞0，
∴f（x）在（1，e^a）上有一個零點；
③當

a

2

（1-ln

a

2

）＜0，
即a＞2e時，e^a＞

2a

2

＞

e

＞1，有1＜

2a

2

＜ea．
而g（1）=1＞0，g（e^a）=e^2a-a²=（e^a-a）（e^a+a）＞0，
當a＞2e時，g（x）min=g（

2a

2

）=

a

2

（1-ln

a

2

）＜0，
所以，當a＞2e時，函數(shù)g（x）在（1，e^a）上有兩個零點．
綜上所述：當0＜a＜2e時，函數(shù)f（x）有、無零點；
a=2e時，函數(shù)f（x）有一個零點；
當a＞2e時，函數(shù)f（x）有兩個零點．

點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及利用導數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查函數(shù)的零點個數(shù)的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意分類討論思想的合理運用．