Question

某工廠用72萬(wàn)元錢購(gòu)買了一臺(tái)新機(jī)器，每年的保險(xiǎn)費(fèi)、油費(fèi)合計(jì)為7.5萬(wàn)元，另外，維修保養(yǎng)費(fèi)用逐年遞增，第一年為2萬(wàn)元，以后每年增加1萬(wàn)元．
（I）設(shè)前n年的維修保養(yǎng)總費(fèi)用為S_n萬(wàn)元，求S_n的表達(dá)式；
（Ⅱ）截止到第n年，這臺(tái)機(jī)器的總費(fèi)用是多少？
（Ⅲ）這臺(tái)機(jī)器的最佳使用年限（年平均費(fèi)用最�。┦嵌嗌伲�

Answer 1

分析：（I）由題知，維修保養(yǎng)費(fèi)用逐年遞增，第一年為2萬(wàn)元，以后每年增加1萬(wàn)元，可得前n年每年的保養(yǎng)費(fèi)是一個(gè)首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，由求和公式求和即可；
（II）總費(fèi)用包括購(gòu)買費(fèi)用及每年的保險(xiǎn)費(fèi)、油費(fèi)合計(jì)為7.5萬(wàn)元及每年的保養(yǎng)費(fèi)用，三者相加即可得到總費(fèi)用；
（III）得出各年平均費(fèi)用的表達(dá)式，計(jì)算其取得最小值時(shí)的n即可得出答案

解答：解：（I）由題意，每年的保養(yǎng)費(fèi)是一個(gè)首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，可得Sn=2+3+…+(n+1)=

n(n+3)

2

；（2分）
（II）總費(fèi)用為72+7.5n+

n2+3n

2

=

n2+18n+144

2

（萬(wàn)元）
答：截止到第n年，這臺(tái)機(jī)器的總費(fèi)用是

n2+18n+144

2

萬(wàn)元；（4分）
（III）設(shè)這臺(tái)機(jī)器前n年的年平均費(fèi)用為f（n）萬(wàn)元，f(n)=

n2+18n+144

2n

=(

n

2

+

72

n

)+9≥21，當(dāng)且僅當(dāng)

n

2

=

72

n

時(shí)等號(hào)成立．
即n=12時(shí)等號(hào)成立．
答：這臺(tái)機(jī)器的最佳使用年限是12年．（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)最值的應(yīng)用及等差數(shù)列的應(yīng)用，此類題通過審題理解其中的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，此類題綜合性較強(qiáng)，注意轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用