Question

在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=3，其前n項(xiàng)和為S_n，等比數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，b₁=1，公比為q，且b2+S2=12，q=

S2

b2

．
（I）求a_n與b_n；
（II）設(shè)Tn=anb1+an-1b2+…+a1bn，n∈N+，求T_n的值．

Answer 1

解（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，
且b2+S2=12，q=

S2

b2

，
∴

b1q+a1+a2=12 q= a1+a2 1•q

，即

q+6+d=12① 6+d=q2    ②

，解得：

d=3 q=3

．
∴a_n=a₁+（n-1）d=3+（n-1）•3=3n，
bn=b1qn-1=1×3n-1=3n-1．
（Ⅱ）T_n=a_nb₁+a_n-1b₂+a_n-2b₃+…+a₁b_n
=3n•1+3（n-1）•3+3（n-2）•3²+…+3×2×3^n-2+3•3^n-1
=n•3+（n-1）•3²+（n-2）•3³+…+2•3^n-1+3ⁿ．
∴3Tn=n•32+(n-1)•33+…+2•3n+3n+1．
∴3Tn-Tn=-3n+32+33+…+3n+3n+1
=（3²+3³+…+3ⁿ⁺¹）-3n
=

9×(1-3n)

1-3

-3n=

3n+2

2

-3n-

9

2

．
∴Tn=

3n-1

2

-n-

3

2

．