如圖,已知ABCD-A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為3的正方體,點(diǎn)E在A(yíng)A1上,點(diǎn)F在CC1上,且AE=FC1=1.
(1)求證:E,B,F(xiàn),D1四點(diǎn)共面;
(2)若點(diǎn)G在BC上,數(shù)學(xué)公式,點(diǎn)M在BB1上,GM⊥BF,垂足為H,求證:EM⊥面BCC1B1;
(3)用θ表示截面EBFD1和面BCC1B1所成銳二面角大小,求tanθ.

解:(1)證明:在DD1上取一點(diǎn)N使得DN=1,
連接CN,EN,顯然四邊形CFD1N是平行四邊形,所以D1F∥CN,
同理四邊形DNEA是平行四邊形,所以EN∥AD,且EN=AD,又
BC∥AD,且AD=BC,所以EN∥BC,EN=BC,所以四邊形CNEB是平行四邊形,所以
CN∥BE,所以D1F∥BE,所以E,B,F(xiàn),D1四點(diǎn)共面;

(2)因?yàn)镚M⊥BF所以△BCF∽△MBG,
所以,即,所以MB=1,因?yàn)锳E=1,
所以四邊形ABME是矩形,所以EM⊥BB1又平面ABB1A1⊥平面BCC1B1
,且EM在平面ABB1A1內(nèi),所以EM⊥面BCC1B1;

(3)EM⊥面BCC1B1,所以EM⊥BF,EM⊥MH,GM⊥BF,
所以∠MHE就是截面EBFD1和面BCC1B1所成銳二面角的平面角,
∠EMH=90°,所以,ME=AB=3,△BCF∽△MHB,
所以3:MH=BF:1,BF=
所以MH=,所以=
分析:(1)四點(diǎn)共面問(wèn)題通常我們將它們變成兩條直線(xiàn),然后證明這兩條直線(xiàn)平行或相交,根據(jù)公理3的推論2、3可知,它們共面.
(2)在正方體中,易知AB⊥面BCC1B1,所以欲證EM⊥面BCC1B1,可以先證AB∥EM;或者也可以從平面ABB1A1⊥平面BCC1B1入手去證明,那么我們一開(kāi)始就需要算出BM的長(zhǎng)度.
(3)由第二問(wèn)的證明可知,利用三垂線(xiàn)定理,∠MHE就是截面EBFD1和面BCC1B1所成銳二面角的平面角.
點(diǎn)評(píng):(1)主要考查了平面的基本性質(zhì)及推論.
(2)主要考查了直線(xiàn)和平面垂直的判定,方法主要是通過(guò)線(xiàn)與線(xiàn)垂直、面與面垂直進(jìn)行轉(zhuǎn)化.
(3)主要考查了三垂線(xiàn)定理的應(yīng)用,三垂線(xiàn)定理是尋找二面角的平面角的很好的方法.
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(1)證明:平面AB1D1⊥平面AA1C1
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(Ⅱ)求直線(xiàn)EC與平面BCF所成的角;
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(用分?jǐn)?shù)表示結(jié)果).

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