已知拋物線的方程為x2＝2py(p＞0)，過點p(0，p)的直線l與拋物線相交于A、B兩點，分別過點A、B作拋物線的兩條切線l1和l2，記l1和l2相交于點M．

(Ⅰ)證明：直線l1和l2的斜率之積為定值；

(Ⅱ)求點M的軌跡方程．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)解：

　　依題意，直線l的斜率存在，設直線l的方程為y＝kx＋p，

　　將其代入x2＝2py，消去y整理得x2－2pkx－2p2＝0．　　2分

　　設A，B的坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝－2p2．　　3分

　　將拋物線的方程改寫為y＝，求導得＝

　　所以過點A的切線l1的斜率是k1＝，過點B的切線l2的斜率是k2＝，

　　故k1k2＝，所以直線l1和l2的斜率之積為定值－2．　　6分

　　(Ⅱ)解：

　　設M(x，y)．因為直線l1的方程為y－y1＝k1(x－x1)，即，

　　同理，直線l2的方程為，

　　聯(lián)立這兩個方程，消去y得，

　　整理得(x1－x2)＝0，注意到x1≠x2，所以x＝．　　10分

　　此時y＝．　　12分

　　由(Ⅰ)知，x1＋x2＝2pk，所以x＝＝pkR，

　　所以點M的軌跡方程是y＝－p．　　14分


練習冊系列答案
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已知拋物線的方程為y2=2px（p＞0），且拋物線上各點與焦點距離的最小值為2，若點M在此拋物線上運動，點N與點M關于點A（1，1）對稱，則點N的軌跡方程為（　�。�

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（2013•浙江模擬）如圖，已知拋物線的方程為x2=2py（p＞0），過點A（0，-1）作直線與拋物線相交于P，Q兩點，點B的坐標為（0，1），連接BP，BQ，設QB，BP與x軸分別相交于M，N兩點．如果QB的斜率與PB的斜率的乘積為-3，則∠MBN的大小等于（　�。�

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A.y2=8x                          B.y2=-8x

C.y2=4x                          D.y2=-4x

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