Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{4}$）（ω＞0）的最小正周期是$\frac{2π}{3}$，
（1）求ω；
（2）當(dāng)x∈[${\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}}$]時，求函數(shù)y=f（x）的值域．
（3）求方程f（x）=a（0＜a＜1），在[0，2π]內(nèi)的所有實(shí)數(shù)根之和．

Answer 1

分析 （1）由條件利用正弦函數(shù)的周期性求得ω的值．
（2）由條件利用定義域和值域，求得f（x）值域．
（3）利用正弦函數(shù)的圖象的對稱性、周期性，求得在[0，2π]內(nèi)的所有實(shí)數(shù)根之和．

解答 解：（1）由T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$，求得ω=3．
（2）由（1）得$f（x）=sin（3x-\frac{π}{4}）（ω＞0）$，因為$x∈[{\frac{π}{6}，\frac{π}{2}}]$，所以$（3x-\frac{π}{4}）∈[{\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}}]$，
由正弦函數(shù)的性質(zhì)得：sin（3x-$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，所以f（x）值域為：$[{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1}]$．
（3）∵$f（x）=sin（3x-\frac{π}{4}）$的周期為$\frac{2}{3}π$，∴$y=sin（3x-\frac{π}{4}）$在[0，2π]內(nèi)恰有3個周期，
∴$sin（3x-\frac{π}{4}）=a（0＜a＜1）$在[0，2π]內(nèi)有6個實(shí)根．
$由sin（3x-\frac{π}{4}）=1，得x=\frac{π}{4}+\frac{2kπ}{3}，（k∈Z）$，令k=0，1，2，分別得$x=\frac{π}{4}，\frac{11π}{12}，\frac{19π}{12}$，
所以${x_1}+{x_2}=\frac{π}{2}$，${x_3}+{x_4}=\frac{11}{6}π，{x_5}+{x_6}=\frac{19}{6}π$，
故所有實(shí)數(shù)之和為$\frac{π}{2}+\frac{11π}{6}+\frac{19π}{6}=\frac{11π}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查正弦函數(shù)的周期性、定義域和值域，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于中檔題．