Question

6．已知函數(shù)f（x）為y=3^x，x∈[0，2]的反函數(shù)，g（x）=[f（x）]²+f（x²），若g（x）≤k恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．（注意反函數(shù)f（x）的定義域與g（x）的定義域）

Answer 1

分析 根據(jù)條件得到f（x）=log₃x，x∈[1，9]，進而求得g（x）=[f（x）]²+f（x²）=（log₃x+1）²-1，再求最大值即可．

解答 解：因為f（x）是y=3^x，x∈[0，2]的反函數(shù)，
所以，f（x）=log₃x，x∈[1，9]，
g（x）=[f（x）]²+f（x²）=log₃²x+2log₃x=（log₃x+1）²-1，
又∵f（x）的定義域為[1，9]，
∴g（x）的自變量需滿足$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤9}\\{1≤x^2≤9}\end{array}\right.$，解得x∈[1，3]，
因此，log₃x∈[0，1]，
故g（x）_min=g（1）=0，g（x）_max=g（3）=3，
要使g（x）≤k恒成立，則k≥g（x）_max=3．
所以，實數(shù)m的取值范圍為[3，+∞）．

點評 本題主要考查了反函數(shù)和復合函數(shù)定義域的解法，二次函數(shù)最值，屬于中檔題．