Question

在三棱錐S－ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2，M、N分別為AB、SB的中點(diǎn)．

(1)證明：AC⊥SB；

(2)求二面角N－CM－B的大��；

(3)求點(diǎn)B到平面CMN的距離．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)取AC中點(diǎn)D，連結(jié)SD、DB． 　　∵SA＝SC，AB＝BC， 　　∴AC⊥SD且AC⊥BD， 　　∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB， 　　∴AC⊥SB　　　　　　　4分; 　　(2)∵AC⊥平面SDB，AC平面ABC， 　　∴平面SDB⊥平面ABC． 　　過(guò)N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC， 　　過(guò)E作EF⊥CM于F，連結(jié)NF， 　　則NF⊥CM． 　　∴∠NFE為二面角N－CM－B的平面角　　　　　　　　6分 　　∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴SD⊥平面ABC． 　　又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD． 　　∵SN＝NB， 　　∴NE＝SD＝＝＝，且ED＝EB． 　　在正△ABC中，由平幾知識(shí)可求得EF＝MB＝， 　　在Rt△NEF中，tan∠NFE＝＝2， 　　∴二面角N－CM－B的大小是arctan2　　　　　　　　　　10分; 　　(3)在Rt△NEF中，NF＝＝， 　　∴S△CMN＝CM·NF＝， 　　S△CMB＝BM·CM＝2　　　　　　　　　11分 　　設(shè)點(diǎn)B到平面CMN的距離為h， 　　∵VB－CMN＝VN－CMB，NE⊥平面CMB， 　　∴S△CMN·h＝S△CMB·NE，∴h＝＝． 　　即點(diǎn)B到平面CMN的距離為　　　　　　14分