【題目】如圖,已知圓O外有一點P,作圓O的切線PM,M為切點,過PM的中點N,作割線NAB,交圓于A,B兩點,連接PA并延長,交圓O于點C,連續(xù)PB交圓O于點D,若MC=BC.
(1)求證:△APM∽△ABP;
(2)求證:四邊形PMCD是平行四邊形.
【答案】
(1)證明:∵PM是圓O的切線,NAB是圓O的割線,N是PM的中點,
∴MN2=PN2=NANB,
∴ = ,
又∵∠PNA=∠BNP,
∴△PNA∽△BNP,
∴∠APN=∠PBN,即∠APM=∠PBA,.
∵MC=BC,
∴∠MAC=∠BAC,
∴∠MAP=∠PAB,
∴△APM∽△ABP
(2)證明:∵∠ACD=∠PBN,
∴∠ACD=∠PBN=∠APN,即∠PCD=∠CPM,
∴PM∥CD.
∵△APM∽△ABP,
∴∠PMA=∠BPA
∵PM是圓O的切線,
∴∠PMA=∠MCP,
∴∠PMA=∠BPA=∠MCP,即∠MCP=∠DPC,
∴MC∥PD,
∴四邊形PMCD是平行四邊形
【解析】(1)由切割線定理,及N是PM的中點,可得PN2=NANB,進而 = ,結合∠PNA=∠BNP,可得△PNA∽△BNP,則∠APN=∠PBN,即∠APM=∠PBA;再由MC=BC,可得∠MAC=∠BAC,再由等角的補角相等可得∠MAP=∠PAB,進而得到△APM∽△ABP(2)由∠ACD=∠PBN,可得∠PCD=∠CPM,即PM∥CD;由△APM∽△ABP,PM是圓O的切線,可證得∠MCP=∠DPC,即MC∥PD;再由平行四邊形的判定定理得到四邊形PMCD是平行四邊形.
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【題目】設{an}是首項為正數的等比數列,公比為q,則“q<0”是“對任意的正整數n,a2n﹣1+a2n<0”的條件.(填“充要條件、充分不必要條件、必要不充分條件、即不充分也不必要條件”)
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【題目】定義數列,如果存在常數,使對任意正整數,總有,那么我們稱數列為“—擺動數列”.
()設, , ,判斷數列, 是否為“—擺動數列”,并說明理由;
(2)已知“—擺動數列”滿足: ,求常數的值.
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【題目】有下列命題:
①函數的圖象與的圖象恰有個公共點;
②函數有個零點;
③若函數與的圖像關于直線對稱,則函數與的圖象也關于直線對稱;
④函數的圖象是由函數的圖象水平向右平移一個單位后,將所得圖象在軸右側部分沿軸翻折到軸左側替代軸左側部分圖象,并保留右側部分而得到的.其中錯誤的命題有___________.(填寫所有錯誤的命題的序號)
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【題目】為了調查某廠工人生產某種產品的能力,隨機抽查了20位工人某天生產該產品的數量.產品數量的分組區(qū)間為[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95)由此得到頻率分布直方圖如圖.則產品數量位于[55,65)范圍內的頻率為;這20名工人中一天生產該產品數量在[55,75)的人數是 .
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【題目】已知函數f(x)=cosxsin(x+)﹣cos2x+,x∈R.
(1)求f(x)的單調遞增區(qū)間;
(2)在銳角△ABC中,角A,B,C的對邊分別a,b,c,若f(A)=,a=,求△ABC面積的最大值.
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【題目】已知為正整數,數列滿足, ,設數列滿足
(1)求證:數列為等比數列;
(2)若數列是等差數列,求實數的值;
(3)若數列是等差數列,前項和為,對任意的,均存在,使得成立,求滿足條件的所有整數的值.
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【題目】一個盒子中裝有5張編號依次為1、2、3、4、5的卡片,這5 張卡片除號碼外完全相同.現進行有放回的連續(xù)抽取2 次,每次任意地取出一張卡片.
(1)求出所有可能結果數,并列出所有可能結果;
(2)求事件“取出卡片號碼之和不小于7 或小于5”的概率.
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