Question

若定義在R上的奇函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，且當(dāng)0＜x≤1時，f（x）=log₃x，則方程f（x）+4=f（0）在區(qū)間（0，10）內(nèi)的所有實根之和為（ ）
A．28
B．30
C．32
D．34

Answer 1

【答案】分析：可根據(jù)定義在R上的奇函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱⇒f（x+4）=f（x），再利用0＜x≤1時，f（x）=log₃x，數(shù)形結(jié)合，可求得方程f（x）+4=f（0）在區(qū)間（0，10）內(nèi)的所有實根之和．
解答：解：∵函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，
∴f（2-x）=f（x），又y=f（x）為奇函數(shù)，
∴f（x+2）=f（-x）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即f（x）的周期為4，
又定義在R上的奇函數(shù)，故f（0）=0，
∵f（x）+4=f（0），
∴f（x）=-4+f（0）=-4，
∵0＜x≤1時，f（x）=log₃x≤0，
∴f（x）=-4在（0，1）內(nèi)有一實根x₁，又函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，
∴f（x）=-4在（1，2）有一個實根x₂，且x₁+x₂=2；
∵f（x）的周期為4，
∴f（x）在（4，5），（5，6）上各有一個實根x₃、x₄，x₃+x₄=10；在（8，9），（9，10）各有一個實根x₅，x₆，x₅+x₆=18；
∴原方程在區(qū)間（0，10）內(nèi)的所有實根之和為30．
故選B．
點評：本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷及奇偶函數(shù)圖象的對稱性，關(guān)鍵在于判斷f（x）的周期為4，再結(jié)合“0＜x≤1時，f（x）=log₃x”與奇函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，數(shù)形結(jié)合予以解決，屬于中檔題．