Question

已知長(zhǎng)方形ABCD，AB=2．以AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy．
（I）求以A，B為焦點(diǎn)，且過(guò)C，D兩點(diǎn)的橢圓P的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）已知定點(diǎn)E（-1，0），直線y=kx+t與橢圓P交于M、N相異兩點(diǎn)，證明：對(duì)作意的t＞0，都存在實(shí)數(shù)k，使得以線段MN為直徑的圓過(guò)E點(diǎn)．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，可得2a=AC+BC=即可得出a，又c=，利用b²=a²-c²即可得出．
（II）把直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立即可得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出k與t的關(guān)系，再利用△＞0即可證明．
解答：解：（Ⅰ）由題意可得點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為，，
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，
則2a=AC+BC=，∴．
又c=，
∴b²=a²-c²=1．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．
（Ⅱ）將y=kx+t代入橢圓方程，得（1+3k²）x²+6ktx+3t²-3=0，
由直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以△=（6kt）²-12（1+3k²）（t²-1）＞0，解得．
設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），則，，
∵以MN為直徑的圓過(guò)E點(diǎn)，∴，即（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0，
而y₁y₂=（kx₁+t）（kx₂+t）=，
∴，解得．
如果對(duì)任意的t＞0都成立，則存在k，使得以線段MN為直徑的圓過(guò)E點(diǎn)．
，即．
∴對(duì)任意的t＞0，都存在k，使得以線段MN為直徑的圓過(guò)E點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立、根與系數(shù)的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系等是解題的關(guān)鍵．