Question

已知關(guān)于n的不等式2n²-n-3＜（5-λ）（n+1）2ⁿ對(duì)任意n∈N^*恒成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，將原不等式轉(zhuǎn)化為：5-λ＞對(duì)任意n∈N^*恒成立，通過(guò)研究右邊式子的單調(diào)性，可得當(dāng)n=3時(shí)，右邊的最大值為，從而5-λ＞，解之即得λ的取值范圍．
解答：解：∵n∈N^*，∴n+1＞0
在不等式2n²-n-3＜（5-λ）（n+1）2ⁿ兩邊都除以n+1，得
2n-3＜（5-λ）2ⁿ對(duì)任意n∈N^*恒成立，即5-λ＞
設(shè)f（n）=，可得
當(dāng)n=1時(shí)，=-＜0
當(dāng)n≥2時(shí)，＞0，=•=
可得=＞1，=＜1，=＜1，…
由此可得，f（2）＜f（3），f（3）＞f（4），f（4）＞f（5），…
∴f（n）的最大值為f（3）=，
要使原不等式對(duì)任意n∈N^*恒成立，必須5-λ＞，解之得λ＜
故答案為：λ＜
點(diǎn)評(píng)：本題給出關(guān)于n的式子恒成立，求參數(shù)λ的取值范圍，著重考查了不等式的基本性質(zhì)、不等式恒成立和簡(jiǎn)單的演繹推理等知識(shí)，屬于中檔題．