Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-3x+3）e^x，x∈[-2，t]（t＞-2）．
（1）當(dāng)t＜1時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）函數(shù)g（x）=f（x）+（x-2）e^x，是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，b（b＞a＞1），使得x∈[a，b]時(shí)，函數(shù)y=g（x）的值域?yàn)閇a，b]，存在請(qǐng)求出，不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)t＜1時(shí)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解不等式f′（x）≥0，即可求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，同時(shí)可得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)a，b使得題設(shè)成立，
再由函數(shù)y=g（x）在[a，b]上的單調(diào)性得到函數(shù)y=g（x）的最值，得到關(guān)于a，b的方程組，
若方程組有解，實(shí)數(shù)a，b存在，若方程組無(wú)解，則這樣的實(shí)數(shù)a，b不存在，即可得到答案．

解答： 解：f′（x）=（2x-3）e^x+（x²-3x+3）e^x=（x²-x）e^x，
（1）令f′（x）≥0，由于e^x＞0，則x²-x≥0，即x≤0或x≥1，
當(dāng)t＜1時(shí)，則函數(shù)y=f（x）在[-2，0）遞增，在[0，t]上遞減，
故當(dāng)t＜1時(shí)，函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-2，0），單調(diào)遞增區(qū)間為[0，t]；
（2）假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)a，b（b＞a＞1），使得x∈[a，b]時(shí)，函數(shù)y=g（x）的值域?yàn)閇a，b]．
由于函數(shù)g（x）=f（x）+（x-2）e^x=（x²-3x+3）e^x）+（x-2）e^x=（x²-2x+1）e^x，
則g′（x）=（x²-1）e^x，
令g′（x）≥0，由于e^x＞0，則x²-1≥0，即x≤-1或x≥1，
由于b＞a＞1，則g（x）在[a，b]上遞增，
故

g(a)=a g(b)=b

，即

(a2-2a+1)ea=a (b2-2b+1)eb=b

亦即方程（x-1）²e^x=x有兩個(gè)大于1的相異實(shí)根． 
設(shè)φ（x）=（x-1）²e^x-x（x＞1），φ′（x）=（x²-1）e^x-1，φ″（x）=（x²+2x-1）e^x
因x＞1，φ″（x）＞0，所以φ′（x）在（1，+∞）上單增，
又φ′（1）=-1＜0，φ′（2）=3e²-1＞0，
即存在唯一的x₀＞1使得φ′（x₀）=0，
當(dāng)x∈（1，x₀）時(shí)，φ′（x）＜0，φ（x）為減函數(shù)，
當(dāng)x∈（x₀，+∞）時(shí)，φ′（x）＞0，φ（x）為增函數(shù)，
所以函數(shù)φ（x）在x₀處取得極小值．
又因φ（1）=-1＜0，φ（2）=e²-2＞0，
所以φ（x）在區(qū)間（1，+∞）上只有一個(gè)零點(diǎn)，
這與方程（x-1）²e^x=x有兩個(gè)大于1的相異實(shí)根矛盾．
所以假設(shè)不成立，即不存在這樣的實(shí)數(shù)a，b（b＞a＞1），使得x∈[a，b]時(shí)，函數(shù)y=g（x）的值域?yàn)閇a，b]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間的求解，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．