Question

已知函數(shù)f（x）=

ax2+2x+1

x

，x∈[2，+∞）
（1）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若對(duì)任意x∈[2，+∞），f（x）＞0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）代入化簡(jiǎn)并判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而確定單調(diào)性，進(jìn)而求最值；
（2）討論a的不同范圍，化恒成立問(wèn)題，進(jìn)而求求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，f（x）

1

2

x+

1

x

+2，
f′（x）=

1

2

-

1

x2

＞0，x∈[2，+∞）
則f（x）

1

2

x+

1

x

+2在[2，+∞）上單調(diào)遞增，
f（x）_min=f（2）=

7

2

．
（2）①當(dāng)a≥0時(shí)，對(duì)任意x∈[2，+∞），f（x）＞0顯然恒成立；
②當(dāng)a＜0時(shí)，
f（x）=

ax2+2x+1

x

=ax+

1

x

+2在[2，+∞）上單調(diào)遞減，
則f（x）不可能對(duì)任意x∈[2，+∞），f（x）＞0恒成立，
故a≥0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．