Question

如圖，函數f（x）=ax³+bx²+cx+d圖象與x軸相切于原點．
（1）求證：b＞0
（2）已知x₁=1，設g（x）=ex²，若在[0，e]上至少存在一點x，使得f（x）＞g（x）成立，求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據圖象可得到函數在x=0處的函數值與導數都等于0，就可求出c，d的值，再通過圖象判斷函數的單調性，得到導數取正值和負值的范圍，因為導數是關于x的二次函數，根據導數何時取正值，何時取負值，就可判斷a的符號，和對稱軸的符號，進而得到b的范圍．
（2）先由x₁=1，得f′（1）=0，從而f（x）=-bx³+bx²，再構造新函數h（x））=f（x）-g（x）=-bx³+（b-e）x²=x²（-bx+b-e），若在[0，e]上至少存在一點x，使得f（x）＞g（x）成立，只需h（x）＞0在[0，e]上有解，即-bx+b-e＞0在[0，e]上有解，最后將問題轉化為求函數y=-bx+b-e在[0，e]上的最大值問題即可
解答：解：（1）證明：
∴f′（x）=3ax²+bx，通過圖象可得出，
當x＜0時，原函數為減函數，當0＜x＜x₁時，原函數為增函數，當x＞x₁時，原函數為減函數，
∴當x＜0時，導數小于0，當0＜x＜x₁時，導數大于0，當x＞x₁時，導數小于0，
∴導函數f′（x）=3ax²+bx圖象為開口向下的拋物線，且對稱軸在0和x₁之間
∴a＜0，＞0，∴b＞0
（2）解：∵f′（1）=0，∴b=-3a，∴f（x）=-bx³+bx²
令h（x）=f（x）-g（x）=-bx³+（b-e）x²=x²（-bx+b-e）
若在[0，e]上至少存在一點x，使得f（x）＞g（x）成立
即h（x）＞0在[0，e]上有解，即-bx+b-e＞0在[0，e]上有解
只需y=-bx+b-e在[0，e]上的最大值大于零，
∵b＞0
∴y=-bx+b-e在[0，e]上的最大值為b-e
∴b＞e即可
點評：本題考察了導數應用，轉化化歸的思想方法，解題時要透徹理解函數性質與方程、不等式的內在聯(lián)系，準確解題