Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（m-lnx）（m為常數(shù)，e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)），函數(shù)g（x）=x-lnx-

f′(x)

ex

 的最小值為1，其中f′（x） 是函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)．
（1）求m的值；
（2）判斷直線y=e是否為曲線f（x）的切線，若是，試求出切點(diǎn)坐標(biāo)和函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)g（x）=x-lnx-

f′(x)

ex

的最小值為1，可求m的值；
（2）由（1）得，f（x）=e^x（1-lnx），f′（x）=e^x（1-

1

x

-lnx）．令h（x）=1-

1

x

-lnx，則h′(x)=

1-x

x2

，確定函數(shù)單調(diào)性，求最值，可得結(jié)論．

解答：解：（1）∵f（x）=e^x（m-lnx），
∴f′(x)=ex(m-

1

x

-lnx)，x∈(0，+∞)，
∴g（x）=x-lnx-

f′(x)

ex

=x+

1

x

-m≥2-m，
∵函數(shù)g（x）=x-lnx-

f′(x)

ex

的最小值為1，
∴2-m=1，
∴m=1；
（2）由（1）得，f（x）=e^x（1-lnx），f′（x）=e^x（1-

1

x

-lnx）．
令h（x）=1-

1

x

-lnx，則h′(x)=

1-x

x2

．
當(dāng)x∈（0，1）時，h′（x）＞0，當(dāng)x∈（1，+∞）時，h′（x）＞0，
∴h（x）_max=h（1）=0．
∵e^x＞0，∴x∈（0，+∞）時，f′（x）≤0恒成立，
∴x∈（0，+∞）時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∵f′（1）=0且f（1）=e，
∴f（x）在（1，e）處的切線方程為y=e，
∴直線y=e是曲線f（x）的切線．切點(diǎn)坐標(biāo)（1，e），且函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查基本不等式的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．