Question

設(shè)橢圓方程為，PQ是過左焦點(diǎn)F且與x軸不垂直的弦，若在左準(zhǔn)線l上存在點(diǎn)R，使△PQR為正三角形，則橢圓離心率e的取值范圍是________．

Answer 1

分析：利用橢圓的定義，求出PQ的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，再根據(jù)△PQR為正三角形，PQ是過左焦點(diǎn)F且與x軸不垂直的弦，構(gòu)建不等式，即可求得橢圓離心率的范圍．
解答：設(shè)弦PQ的中點(diǎn)為M，過點(diǎn)P、M、Q分別作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為P'、M'、Q'
則|MM'|=（|PP'|+|QQ'|）=（|PF|+|QF|）=|PQ|
假設(shè)存在點(diǎn)R，使△PQR為正三角形，則由|RM|=|PQ|，且|MM'|＜|RM|
得：|PQ|＜|PQ|
∴＜
∴e＞
∴橢圓離心率e的取值范圍是
故答案為：
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓的定義，考查解不等式，屬于基礎(chǔ)題．