Question

已知關于x的不等式

2-x

+

x+1

＜m對于任意的x∈[-1，2]恒成立
（Ⅰ）求m的取值范圍；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下求函數(shù)f(m)=m+

1

(m-2)2

的最小值．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）根據不等式對于任意的x∈[-1，2]恒成立，即可求m的取值范圍；
（Ⅱ）將分式不等式轉化為基本不等式性質，利用基本不等式的性質即可求解．

解答： 解：（Ⅰ）∵關于x的不等式

2-x

+

x+1

＜m對于任意的x∈[-1，2]恒成立?m＞(

2-x

+

x+1

)max，
根據柯西不等式，有(

2-x

+

x+1

)2=(1•

2-x

+1•

x+1

)2≤[12+12]•[(

2-x

)2+(

x+1

)2]=6
∴

2-x

+

x+1

≤

6

，當且僅當x=

1

2

時等號成立，故m＞

6

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得m-2＞0，則f(m)=m+

1

(m-2)2

=

1

2

(m-2)+

1

2

(m-2)+

1

(m-2)2

+2
∴f(m)≥3

3	1 2 (m-2)• 1 2 (m-2)• 1 (m-2)2

+2=

3

2

3	2

+2，
當且僅當

1

2

(m-2)=

1

(m-2)2

，即m=

3	2

+2＞

6

時取等號，
∴函數(shù)f(m)=m+

1

(m-2)2

的最小值為

3

2

3	2

+2．

點評：本題主要考查不等式的應用，要求熟練掌握基本不等式成立的條件和性質，考查學生的計算能力．