Question

已知圓C1：x2+y2=4，圓C2：x2+y2=25．點O為坐標原點，點M是圓C₂上的一動點，線段OM交圓C₁于N，過點M作x軸的垂線交x軸于M₀，過點N作M₀M的垂線交M₀M于P．
（1）當動點M在圓C₂上運動時，求點P的軌跡C的方程．
（2）設(shè)直線l：y=

x

5

+m與軌跡C交于不同的兩點，求實數(shù)m的取值范圍．
（3）當m=

5

5

時，直線l與軌跡C相交于A，B兩點，求△OAB的面積．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出點P的坐標，可以表示出或設(shè)出點M，N的坐標，再根據(jù)點M，N分別在圓C₂，C₁上，即可用點P的坐標表示點M的坐標，用“代點法”即可得出；
（2）利用（1）的軌跡C的方程與直線方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)得到關(guān)于另一個未知數(shù)的一元二次方程，由于直線l與軌跡C交于不同的兩點，必須滿足△＞0即可求出；
（3）利用點到直線的距離公式和弦長公式即可得出．

解答：解（1）設(shè)點P（x，y）．則M（x，y_M），N（x_N，y）．從而

OM

=(x，yM)，

ON

=(xN，y)
∵

OM

=

5

2

ON

，∴(x，yM)=

5

2

(xN，y)．即x=

5

2

xN，yM=

5

2

y．∴M(x，

5

2

y)．
∵點M在圓C₂上，∴x2+(

5

2

y)2=25．整理得點P的軌跡C的方程：

x2

25

+

y2

4

=1．
（2）聯(lián)立

x2 25 + y2 4 =1 y= x 5 +m

消y得到x²+2mx+5m²-20=0．
∵直線l：y=

x

5

+m與軌跡C交于不同的兩點，∴△=（2m）²-4（5m²-20）＞0，即m²＜5．
∴實數(shù)m的取值范圍為(-

5

，

5

)．
（3）直線l：y=

x

5

+

5

5

．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立

x2 25 + y2 4 =1 y= x 5 + 5 5

消x得到x2+

2 5

5

x-19=0．
則x1+x2=-

2 5

5

，x1x2=-19．
|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(x1-x2)2+[( x1 5 + 5 5 )-( x2 5 + 5 5 )]2

=

26

5

(x1-x2)2

=

26

5

(x1+x2)2-4x1x2

=

26

5

×

8 6

5

．
直線l：x-5y+

5

=0．設(shè)O到直線AB的距離為d，則d=

|0-5×0+ 5 |

1+52

=

5

26

．
S△OAB=

1

2

|AB|d=

1

2

×

26

5

×

8 6

5

×

5

26

=

4 6

5

．

點評：熟練掌握直線與圓錐曲線的相交問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個未知數(shù)的一元二次方程求解問題進而轉(zhuǎn)化為△與0的大小比較問題、“代點法”、弦長公式、點到直線的距離公式是解題的關(guān)鍵．