Question

已知函數(shù)f（x）=axlnx，在點(diǎn)（e，f（e））處的切線與直線4x-y=0平行．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[m，m+2]（m＞0）上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=axlnx，所以定義域?yàn)椋?，+∞），f'（x）=a（lnx+1）．因?yàn)樵邳c(diǎn)（e，f（e））處的切線與直線4x-y=0平行，由此能求出f（x）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f'（x）=2（lnx+1），令f'（x）=0，得x=

1

e

．由此討論f（x）的單調(diào)性，能夠求出函數(shù)f（x）的最小值．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=axlnx，
所以定義域?yàn)椋?，+∞），f'（x）=a（lnx+1）．…..（2分）
因?yàn)樵邳c(diǎn)（e，f（e））處的切線與直線4x-y=0平行，
所以f'（e）=4，即a（lne+1）=4．…..（4分）
所以a=2．
所以f（x）=2xlnx．…..（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）f'（x）=2（lnx+1），
令f'（x）=0，得x=

1

e

．
當(dāng)x∈(0，

1

e

)時(shí)，f'（x）＜0，
所以函數(shù)f（x）在(0，

1

e

)上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈(

1

e

，+∞)時(shí)，f'（x）＞0，
所以函數(shù)f(x)在(

1

e

，+∞)上單調(diào)遞增．
所以①若

1

e

∈(m，m+2)時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是f(

1

e

)=-

2

e

；
若

1

e

≤m＜m+2時(shí)，函數(shù)f（x）在[m，m+2]上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)f（x）的最小值是f（m）=2mlnm．…..（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的求法，考查函數(shù)最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)討論思想的合理運(yùn)用．